1 與 0.999...

讀到了 Tommy 的〈1=0.999…?〉這篇文章。

啊，又是那個一被提起就容易引起人們爭吵不休踊躍討論的話題啊。不過這件事其實沒有什麼好爭論的空間：1 = 0.999… 無誤。完。

這篇中文維基百科文章提供了非常詳盡的解釋，從數學外行人友善的版本到非常嚴謹的正式數學證明都有。也可以看這部（英文）影片。

總的來說，1 與 0.999… 其實是實數線（集合）上同一個點（元素）的表示法/表示形式（英文：representation），或是更爲簡要地形容：「寫法不同、本質相同」。

Tommy 文章提到的「兩種答案」中，只有第二種的在邏輯上沒有毛病（該方法也有在上述的維基百科文章提到）。

至於他講到的「第一種」的問題在哪裡呢？其實 Tommy 本人在該文章已經講中了：所謂的「0.000…1 早已化為 0」，或者應該說「1 － 0.999… 根本不等於 0.000…1，而是 0 才對」。

真要雞蛋裡挑骨頭的話，就是他用上了像 Google 計算機那樣的電子計算機來「證明」的部分。

這個做法的問題在於：電子計算機本身的限制，使得其無法真正毫無誤差地表示一個實數的無限小數位形式¹。因此，用它作爲證明 1 = 0.999… 的直接根據不甚嚴謹。

不用提計算機了，光是「從 1－0.99999999999999999 開始，計算結果即為 0」這句話本身就已經不準確了。癥結點在於 0.99999999999999999 仍然是個有限小數位的數字，所以 1 減去它肯定「還有剩」（不是 0）——確切來說是 0.00000000000000001 = 10^(－17)。

但我們在這裡面對的是一個無限小數位的數字（表示法），所以不能與上述說法相提並論。

其實有個不需要用上計算機的更直觀方法：先把 1 改寫成 1.000…，然後將此減法改成直式（豎式），一切應該就一目瞭然了。

既然 0.999… 的（小）數位是無限在走的，那麼在此減法算式持續進行借位（退位）的過程中，0 的小數點後面自然也會產生無限多的 0，並且永遠不會產生 1（不然 0.999… 就不會是無限小數位了），所以最後減出來的答案必定是 0，從而得出 1 = 0.999…。

如果對無窮幾何/等比級數（通常爲高中數學等級）有點概念的話，應該不難發現上面的東西其實只是 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … 「包裝成減法」的版本而已，套用一下無窮幾何級數公式，就能直接得出 1 了。